Задача №1

"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания:

1. Решить задачу алгебраическим способом.

2. Предложить свое задание к задаче.

Следуя указанию учебника, учитель подво­дит учащихся к составлению уравнения, рас­суждая примерно так: "Обозначим буквой х - число тетрадей первого сорта, тогда тетрадей второго сорта будет (60 - х). Известно, что на те­традь первого сорта расходовали 8 листов, зна­чит, (8х) листов расходовали на тетради первого сорта. На тетрадь второго сорта расходовали 12 листов. Следовательно, на тетради второго сор­та израсходовано 12 (60-х) листов. Теперь мож­но найти, сколько всего листов израсходовано:

(8х + 12 (60-х), а это по условию равно 560. Со­ставим уравнение: 8х + 12 (60 - х) = 560. Ис­пользуя дистрибутивный закон (правило умно­жения числа на разность), дети записывают уравнение: 8х + 720 - 12х = 560.

И если составление уравнения не вызывает затруднений у учащихся, то при его решении возникают определенные трудности.

Действительно, действия с отрицательны­ми числами будут изучаться позднее, а реше­ние требует выполнения операций над ними.

Приведем образец решения уравнений.

8х+ 12 (60-х) =560

8х+720-12х=560

8х + 720 - 720 - 12х = 560 - 720 (из обеих частей уравнения вычли по 720)

8х- 12х =-160

(8 - 12)х = - 160 (применили дистрибутив­ный закон умножения относительно вычита­ния, вынесли неизвестное число х за скобки)

-4х=-160

х=(-160):(-4)

х=40

Итак, чтобы найти неизвестное число, нуж­но обе части уравнения разделить на (- 4), т.е. необходимо провести операции с отрицательны­ми числами, а понятие об отрицательном числе будет изучаться позднее.

Чтобы избежать этого, учитель может по­пытаться решить это уравнение следующим образом:

8х+ 12(60-х)=560

8х+720- 12х =560

8х+720+12х-12х=560+12х прибавим 12х

8х+720=560+ 12х

8х - 8х + 720 = 560 + 12х - 8х вычитаем из обеих частей 8х

720 = 560 + (12 - 8)х выносим за скобки х

720 - 560 = 560 - 560 + 4х вычитаем из обе­их частей 560

160=4х

х= 160:4

х=40

Согласитесь, что подобные рассуждения слишком громоздки и затруднительны. Зная это, учитель подводит учащихся к другому уравне­нию, решение которого легче и понятнее детям. Рассуждения примерно таковы: "Пусть х - число тетрадей второго сорта. Тогда (60-х) - число те­традей первого сорта. На тетради второго сорта пошло 12х листов, а на тетради первого -8 (60 - х) листов. На все тетради пошло 12х + 8 (60 - х) листов бумаги. По условию зада­чи это равно 560 листам". Составляем уравнение:

12х+8 (60-х) =560

12х+480-8х=560

12х-8х =560-480

(12-8)х=80

4х=80

х = 80 : 4

х=20

Ответ: 20 тетрадей второго сорта, 40 тет­радей первого сорта (60 - 20 = 40).

Рассуждения учителя и учащихся могут быть примерно такими: "Предположим, что все тетради были тетрадями первого сорта. Тог­да потребовалось бы 8 • 60 = 480 листов бумаги. Но в условии задачи сказано, что пошло 560 ли­стов, т.е. израсходовано больше, чем предполо­жили, на 80 листов (560 - 480 = 80) за счет того, что были тетради другого сорта, на которые шло по 12 листов. На одну тетрадь второго сорта рас­ходовали больше на 4 листа. Итак, на все тетра­ди второго сорта израсходовали на 80 листов больше, а на каждую тетрадь - на 4 листа боль­ше. Это значит, тетрадей второго сорта будет столько, сколько раз укладывается 4 в числе 80: 80:4 = 20 (тетрадей). Чтобы найти число те­традей первого сорта, нужно из 60 вычесть 20". Затем записывается решение задачи:

1)80-60=480

2) 560 - 480 = 80

3) 12-8=4

4) 80 : 4 = 20

5) 60 - 20 = 40

Второй арифметический способ решения основан на предположении, что все тетради были второго сорта.

Аналогичные рассуждения приводят к ре­шению:

1) 12 • 60 = 720 тетрадей

2) 720 - 560 = 160 тетрадей

3) 12-8 =4 тетради