2. Если в четырехугольнике диагонали взаимноперпендикулярны и делятся точкой пересечения

пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3. Признак формулируем аналогично.

Переходя к выяснению признаков квадрата, подчеркиваем, что квадрат является как частным случаем прямоугольника, так и ромба и следовательно обладает всеми свойствами прямоугольника и всеми свойствами ромба. Ставится проблема: выделить комбинации свойств диагоналей, которые выделяли квадрат из множества прямоугольников, из множества ромбов, их множества параллелограммов, из множества четырехугольников.

Если ученики осмыслили рассмотренный материал о признаках прямоугольника и ромба, то они легко ответят на поставленные вопросы и сформулируют следующие признаки квадрата:

Квадратом является:

Прямоугольник с взаимно–перпендикулярными диагоналями,

Прямоугольник, у которого диагональ делит угол пополам.

Ромб с равными диагоналями.

Параллелограмм, у которого диагонали равны и взаимно–перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали рваны и делят угол пополам.

Четырехугольник, у которого диагонали равны, взаимно–перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

После этого можно перейти к решению задач, требующих применения изученных признаков.

Для приведения в систему материала по теме "Параллелограмм и его виды» очень хороша задача: «Определить вид четырехугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками прямых середины сторон произвольного четырехугольника».

После доказательства того факта, что полученный четырехугольник будет параллелограммом, ставится вопрос: «Каким должен быть исходный четырехугольник, чтобы полученный оказался прямоугольником, ромбом, квадратом?».

2) Начертим произвольный четырехугольник.

3)

4) Соединим последовательно полученные точки E, F, M, N.

Вопрос: какой четырехугольник получился?

У разных учащихся ответ будет различным: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Учитель обращает внимание на то, что прямоугольник, ромб, квадрат — частные виды параллелограмма, поэтому всем придется доказывать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МД, ДN=NА.

Доказать: EFMN — параллелограмм.

Проводится анализ:

Вопрос: Для того, чтобы доказать, что EFMN — параллелограмм, что достаточно доказать?

Ответ; параллельность прямых EF и MN, а также ЕN и MF.

Вопрос: Как можно доказать? (или, если не отвечают: Используя какой признак параллельности прямых можно это доказать?).

Ответ: Первый признак параллельности прямых т.к. в других признаках участвуют углы, а в условии задачи об углах ничего не сказано.

Вопрос: В первом признаке параллельности прямых говорятся о трех прямых. Где взять третью прямую?

Ответ: Соединить точки А и С. Получим два треугольника — АВС и АДС.

Вопрос: Какое соотношение известно в этих треугольниках? Или: Чем являются ЕF и MN в DАВС и DАДС?

Ответ; ЕF является средней линией DАВС, ибо АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линией DАДС, т.к. СМ = МД и ДN = NА.

Вопрос: Какой признак средней

линии мы знаем?

Ответ: Средняя линия параллельна основанию.

Вопрос: Какой вывод можно сделать о ЕF и MN?

Ответ: ЕF || АС и МN || АС. Значит, по первому признаку параллельности прямых следует, что ЕF || MN.

Аналогично доказывается, что ЕN || FM.

Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти другое решение, более рациональное и короткое.

Вопрос: Как еще можно доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?

Или: Каким признаком параллелограмма можно воспользоваться, чтобы доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?

Ответ: Воспользоваться признаком параллелограмма, который заключается в том, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит надо доказать, что EF || MN и EF = MN.