Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может быть разбито на две части.

Дано: 1) АВСД — параллелограмм.

2)ÐА=900.

Доказать: АС = ВД.

Если теперь поменять местами заключение и вторую часть условия, то мы получим утверждение:

Дано: АВСД — параллелограмм

АС=ВД.

Это утверждение легко доказать. Докажите самостоятельно.

Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив внимание, что ÐА + ÐД = 1800 (АВСД — параллелограмм ). Что осталось теперь доказать? (ÐА=ÐД).

Аналогичную работу проводим с установлением признаков ромба, основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о свойствах диагоналей ромба.

Дано: АВСД — ромб.

Доказать: 1) ВД | АС;

2) ÐВАС =ÐСАД.

Для этой теоремы можно составить две обратные:

Теорема 1 Теорема 2

Дано: ВД | АС Дано: ÐВАС = ÐСАД

Доказать: АВСД — ромб. Доказать: АВСД — ромб.

Легко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя бы по одному "контрпримеру";

Интересен вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогда ÐAВД=ÐДВС.

Используя второй способ образования обратных теорем, с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника.

Имеем:

Прямая теорема: Дано:

АВСД –параллелограмм, АВ = ВС.

Доказать: ВД | АС

Обратная теорема:

Дано: АВСД –параллелограмм, ВД | АС.

Доказать: АВ=ВС

Вспоминая уточненное определение ромба, даем такую формулировку обратной теоремы: "Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб".

Схема аналитического рассуждения при отыскании доказательства этой теоремы.

АВСД – ромб

АВСД – параллелограмм АВ=ВС

DАВО = DСВО ÐАОВ = ÐСОВ

Ý ВД | АС

АО = ОС ВО – общая ÐАОВ = ÐСОВ

Ý

АВСД – параллелограмм ВД | АС

Аналогично формулируем второй признак ромба: "Если в параллелограмме диагональ делит угол пополам, то этот параллелограмм — ромб". Аналитическое рассуждение проводится аналогично.

Схематическая запись доказательства

АВСД — параллелограмм ÞАД II ВС Þ (Ð1 = Ð3, Ð1 = Ð2) Þ

ÞÐ2 = Ð3 Þ (АВ=BС, АВСД - параллелограмм) Þ АВСД — ромб.

Обобщая полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на тот факт, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из множества всех четырехугольников, но выделяет его из множества параллелограммов, и предложить им самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромба.

Для поверки того, владеют ли учащиеся признаками параллелограмма, ставим перед ними следующую проблему:

Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба, основанные на свойствах их диагоналей, чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников? Подсказка, если ученики не справляются: условие АВСД — параллелограмм, каким требованием относительно его диагоналей можно заменить.

Получаем признаки:

1. Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.