Задачи на построение в планиметрии.
12) построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету;
13) построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу;
14) построить прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой;
15) построить касательную к окружности в данной на ней точке;
16) построить касательные к окружности, проходящие через точку вне окружности;
17) построить касательные к окружности, параллельные данной прямой;
18) описать окружность около данного треугольника;
19) вписать в данный треугольник окружность;
20) построить отрезок, четвёртый пропорциональный к трём данным;
21) построить отрезок, средний пропорциональный к трём данным;
22) построить точки, делящие данный отрезок в данном отношении внутренним и внешним образом;
23) построить общие касательные к двум данным окружностям.
Основными методами решения геометрических задач на построение являются три метода:
a) метод геометрических мест точек (ГМТ);
b) метод геометрических преобразований ;
c) алгебраический метод.
Более детальная классификация методов решения задач на построение приведена в таблице.
| № п/п |
Название метода | Что лежит в основе этого метода |
| 1 | 2 | 3 |
| I | Метод геометрических мест точек | Геометрические места точек. |
| II |
Метод геометрических преобразований: 1) Метод параллельного переноса. 2) Метод осевой симметрии. 3) Метод центральной симметрии. 4) Метод вращения (поворота) 5) Метод подобия. 6) Метод гомотетии. 7) Метод спрямления. 8) Метод обратности. 9) Метод инверсии. |
Геометрические соответствия. |
| III |
Алгебраический метод: 1) Построение отрезков, длины которых заданы формулами. |
Алгебраическое выражение геометрических соответствий. |
К данной таблице необходимо сделать некоторые замечания.
1) При решении задач методом геометрических мест точек сводят данную задачу к задаче на нахождение точки или нескольких точек, каждая из которых обладает свойством тех ГМТ, пересечением которых она является. Затем, чтобы построить искомую точку, сначала строят одно геометрическое место, удовлетворяющее первому условию, а потом строят другое геометрическое место, удовлетворяющее другому условию, опуская первое.
2) Метод спрямления применяется к тем задачам, в условиях которых содержатся сумма и разность отрезков. Метод состоит в том, что сначала строят вспомогательную фигуру, в которую непосредственно входит данная сумма или разность отрезков, а затем строят искомую фигуру.
3) Метод симметрии заключается в том, что, проведя анализ задачи, замечают, что вместо искомой фигуры можно построить фигуру, симметричную ей относительно некоторой прямой или точки, а затем от неё перейти к построению искомой фигуры, произведя повторную симметрию.