После преобразований получим

Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда наименьшее значение функции , наибольшее .

Ответ:

Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию как уравнение с неизвестным , в котором необходимо установить при каких это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором работает эта идея с небольшими вариациями.

16. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если

.

Решение.

Положим . Подставим полученное выражение в (1):

Ответ: наибольшее значение выражения равно ; наименьшее - .

Рассмотрим один из самых универсальных методов доказательства – методом математической индукции.

17. Доказать, что при любом натуральном число делится на 7.

Решение.

Обозначим .

При - делится на 7.

Пусть делится на 7.

Имеем

Последнее число делится на 7, т.к. представляет собой разность двух целых чисел, которые делятся на 7, ч.т.д.

17. Доказать тождество:

Решение.

1)При равенство выполняется.

2)Предположим, что равенство выполняется при

При имеем: