Теоретический материал электронного учебника

так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z

.

Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию.

Поэтому Z

=N

È {0, -1, -2, .} или Z

={ .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .}, т.е. множество целых чисел Z

содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.

Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p1, p2, ., pk – простые числа, а - натуральные числа. Разложение называется каноническим.

Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например .

Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна.

О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а1, а2, ., аn называется целое число d, такое, что a1 : d, а2 : d, ., аn : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а1, а2, ., аn называется такой положительный общий делитель чисел а1, а2, ., аn, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей.

Обозначается: d = (а1, а2, ., аn).

Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

1173 = 323´3 + 204;

323=204´1+119;

204=119´1+85;

119=85´1+34;

85=34´2+17;

34=17´2;

так что (1173, 323) = 17.

О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а1, а2, ., аn, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных.

Обозначают: m=[ а1, а2, ., аn].

Пусть а и b целые числа, тогда

П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.

Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =

3.

Множество рациональных чисел. Система действительных чисел

Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z

так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональных чисел Q

, т.е. Q

={r | r=, m, n Î Z, n¹0}. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Десятичная дробь называется периодической, если начиная с некоторого k одна или несколько цифр (группа цифр) повторяются.

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5