, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что

f (x) = F

(x). (1)

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f (x) и F

(x) в точках хi ( i = 0, 1, 2, ., n), т.е.

F

(x0) = y0, F(x1) = y1, ., F

(xn) = yn. (2)

Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде многочлена степени n:

P

n (x) = a0xn + a1xn-1 + . +an-1x + an. (3)

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предполагать, что n+1 условия (2), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для P

n (x) выполнения условий (2), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:

n

å ak xi n - k = yi (i = 0, 1, ., n). (4)

k=0

Решая эту систему относительно неизвестных а1, а2, ., аn, мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен P

n(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственен.

Чтобы написать программу, реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней. А потом, она поможет сэкономить многие и многие месяцы, ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов.