Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

Одним из ученых, предвосхитивших неевклидову геометрию, был итальянский монах Джироламо Саккери (1667-1733), преподававший грамматику в иезуитской коллегии в Милане. Здесь под влиянием Джованни Чевы ( Джованни Чева (1648-1734) – итальянский инженер-гидравлик и экономист) Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею. Впоследствии он преподавал математику в университете города Павши. На последнем году своей жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием «Евклид, очищенный от всех пятен». В ней он поставил перед собой задачу исправить все недостатки («пятна») «Начал» Евклида, в первую очередь доказать V

постулат. Саккери решительнее и дальше своих предшественников сделал попытку доказать этот постулат от противного. Этот путь он не сумел проделать до конца, но идя по нему, Лобачевский а последствии открыл неевклидову геометрию.

Рассматривая четырехугольник (рис. 1), носящий его имя, Саккери стремится доказать, что гипотезы тупого и острого углов приводят к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которой вытекает евклидов Vпостулат. Он легко опровергает гипотезу тупого угла, он доказывает, что:

геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной прямой по одну сторону, не является прямой или окружностью, а другой линией (которую Лобачевский впоследствии назвал эквидистантой, то есть «равноотстоящей»);

две прямые, содержащиеся в одной плоскости (рис. 2), либо пересекаются в одной точке (такие прямые Лобачевский назвал «сходящимися»), либо не пересекаются, имея общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они друг от друга удаляются («расходящиеся прямые» в терминологии Лобачевского), либо не пересекаются, удаляясь друг от друга в одном направлении и асимптотически приближаясь в другом (параллельные Лобачевского).

Если бы Саккери пользовался лишь логическими выводами, строгой дедукцией, то никакого противоречия он в указанных выше предложениях не нашел бы. Однако, будучи предубежден о невозможности того, что для евклидова постулата не имелось доказательства, Саккери для опровержения гипотезы острого угла прибег к утверждению чисто интуитивного характера: существование асимптотических прямых якобы «противоречит природе прямой линии». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе гипотезы острого угла, которые 100 лет спустя легли в основу новой неевклидовой геометрии Лобачевского.

К числу предшественников последнего, следует отнести и члена Берлинской Академии наук – астронома, математика и философа Иогана Генриха Ламберта, считавшего себя Швейцарским ученым и писавшего одни из своих произведений на французском языке. Другие – на немецком.