Найдем решение уравнения:

(1)

Нельзя считать, что или , так как вместо получилось бы равенство

Чтобы в выражении второй производной был множитель запишем уравнение (1) в виде:

(2)

Найдем первую и вторую производные:

Функция (2) есть решение исходного уравнения (1). Функция

есть также решение исходного уравнения.

Обозначим постоянную величину , зависящую от свойств системы, через :

Тогда решение уравнения (2) можно записать:

(3)

Тогда уравнение (1), описывающее свободные электромагнитные колебания примет вид:

(4)

Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно, ω0=2π,

. Так как , тогда период колебаний равен

- формула Томсона.

Аналогично этим рассуждениям решим уравнение для колебаний вертикального пружинного маятника:

(5)

Запишем уравнение (5) в виде:

(6)

Найдем первую и вторую производные:

Функция (6) есть решение исходного уравнения. Функция есть также решение исходного уравнения. Обозначим постоянную величину

через w0 получим

(7)

Тогда уравнение (5) будет иметь вид:

(8)

Период коле­баний для пружинного маятника по аналогии с формулой Томсона

где ; получим

(9)

Аналогично выше изложенным рассуждениям решим уравнение для колебаний математического маятника:

(10)

Запишем уравнение (10) в виде:

(11)

Найдем первую и вторую производные уравнения (11):

Функция (11) есть решение уравнения (10). Обозначим постоянную величину ,зависящую от свойств системы, через w0 получим:

(12)

Тогда уравнение (10) примет вид:

(13)

По аналогии с формулой(8) и формулой Томсона, для математического маятника период колебаний равен:

; ;

(14)

Уравнения (4), (8) и (13) являются решениями уравнений, описывающих колебания в пружинном и математическом маятникам.