В отличии от неполной индукции полная индукция имеет доказательную силу, и ее роль при решении многих алгебраических задач (прежде всего на делимость), трудно переоценить.

Приведем примеры. Пусть учащимся предложена задача: «Докажите, что любую сумму большую 7 к., можно уплатить трех- и пятикопеечными монетами не получая сдачи».

Для решения этой задачи достаточно проверить, что трех- и пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.

Решив таким образом задачу, следует добиться от учащихся ясного понимания того, что задача решена с помощью полной индукции: все числа большие 7, разбили на три непересекающихся класса — 8 + 3k, 9 + 3k, 10 + 3k, где k ÎN, в каждом из которых решение задачи существует.

Можно оформить решение задачи несколько иначе, представив любое натуральное число п, большее 7, в одном из следующих видов:

п = 3k, где k ÎN, k ³ 3;

п = 3k + 1, где k ÎN, k ³ 3;

п = 3k + 2, где k ÎN, k ³ 2.

Доказав в каждом из трех случаев возможность представления числа п требуемым образом, решим задачу методом полной индукции.

Для закрепления способа решения задач методом полной индукции полезно рассматриваемую задачу решить другим способом, разбив натуральные числа не на 3, а на 5 классов.

Учащиеся должны понимать, что метод полной индукции является научно-обоснованным методом и им можно пользоваться наряду с другими.

Ясно, что применять метод полной индукции можно лишь тогда, когда число рассматриваемых в задаче случаев конечно и не слишком далеко. Но иногда этим методом задачу можно решить много проще, чем другим.